Analisi Matematica ITPS

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Modalità di svolgimento degli esami per l’AA 2017/18
1) L’esame verte su due parti:
A – una prima parte relativa agli aspetti applicativi/esercitativi,
T – seconda parte sugli aspetti teorici.

2) L’esame si svolge attraverso una prova scritta e di una prova orale da svolgersi entrambe all’interno di uno stesso appello.

3) La prova scritta verte su entrambe le parti del programma ed è propedeutica alla prova orale. La prova scritta si intende superata se almeno la parte A risulta essere sufficiente.

4) Il colloquio orale, oltre che discutere l’elaborato della prova scritta, verte su entrambe le parti del programma.

Ulteriori precisazioni

5) Le date degli appelli relativi alla parte A sono gia’ pubblicate sul sistema esse3. Per ragioni tecniche queste date vengono visualizzate su esse3 come ‘prove parziali’. Per sostenere tali esami e’ necessario (obbligatorio) prenotarsi attraverso il sistema esse3. Dopo ogni esame della parte A ci sara’ anche una data di esame relativa alla parte T (visualizzate su esse3 come ‘appelli’). Le date degli esami della parte T verranno pubblicate entro il giorno successivo alla data della parte A. Per sostenere l’esame relativo alla parte T e’ necessario registrarsi attraverso il sistema esse3. Infine si ricorda che la data indicata e’ la prima del calendario degli esami. Se ci dovessero essere molti iscritti, per alcuni candidati potrebbe esserci un rinvio ai giorni successivi.

6) I compiti non saranno piu’ accessibili 20 giorni dopo la pubblicazione degli esiti.

Programma del corso AA 2016/17 e 2017/18

Esercizi d’esame

Argomenti già svolti a lezione AA 2018/19
Presentazione del corso di analisi, illustrazione delle applicazioni del calcolo alla computer science.
Richiami sugli insiemi numerici. Campi ordinati,

Maggioranti e minoranti , estremo superiore e inferiore.
Assioma di completezza. I numeri reali.
Conseguenze degli assiomi. Risoluzioni di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado.

Richiami sulla definizione di funzione: ingettiva surgettiva, bigettiva, grafico di una funzione. Interpretazioni analitiche e geometriche.
Insiemi infiniti e finiti. Cardinalita’. Numerabilità di ZZ e QQ. L’insieme delle parti di un insieme ha cardinalità strettamente maggiore dell’insieme di
partenza. Cardinalità dei reali. I punti del piano e della retta hanno la stessa cardinalità.
Ogni insime infinito e’ almeno numerabile. Esercizi ed esempi.

Valore assoluto e sue proprieta’. Successioni. Successioni limitate. Nozione di “definitivamente”. Definizione di successione convergente. Unicita’ del limite di successioni. Ogni successione convergente e’ limitata. Esempi e controesempi. Successioni divergenti. Successioni regolari.

Esempi e controesempi circa la definizione di limite. Funzioni composte. Funzioni monotone. Esempi e controesempi. Funzioni invertibili. Ogni funzione strettamente monotona è invertibile. Esistenza della radice n-esima. Funzione radice n-esima. Ogni successione monotona e’ regolare. Limiti per eccesso e per difetto.

Proprieta’ delle potenze. Sistemi di disuguaglianze. Disuguaglianze polinomniali e razionali, disuguaglianze coinvolgenti il valore assoluto.

Definizione di esponenziale con esponente razionale. Definizione di esponenziale con esponente reale. Proprieta’ delle funzioni esponenziale e logaritmo. Funzione potenza. Simmetrie delle funzioni.Esercizi sulle disuguaglianze frazionarie. Funzioni periodiche. Definizione delle funzioni trigonometriche, delle loro inverse con relativi grafici e proprieta’. Disuguaglianze coinvolgenti funzioni irrazionali, esponenziali, logaritmi

Algebra dei limiti con limiti convergenti. Teoremi delle permanenza del segno. Teoremi di confronto per limiti di successioni. Parte intera e mantissa. Disuguaglianza di Bernoulli. Successione geometrica. Esercizi ed esempi.

Algebra dei limiti con limiti divergenti. Forme indeterminate. Successioni infinitesime, infinite. Confronti fra infiniti e confronti fra infinitesimi. Successioni asintoticamente equivalenti e loro proprieta’. Esempi ed esercizi.

Criterio del rapporto per successioni. Gerarchia degli infiniti. Costruzione del numero ‘e’. Esempi ed esercizi.
Punti di accumulazione. Definizione di limite sequenziale. Esempi e controesempi. Limite per ecccesso e per difetto. Limite da destra e limite da sinistra. Unicita’ del limite. Tecniche per dimostrare la non esistenza di alcuni limiti. Funzioni continue. Esempi e controesempi. Intorni. Definizione topologica di limite. Equivalenze delle definizioni sequenziale e topologica. Algebra dei limiti.

Teoremi di confronto per limiti di funzioni. Teoremi della permanenza del segno. Teorema sul cambio di variabile nei limiti. Composizioni di funzioni continue. Teorema degli zeri per funzioni continue.

Teorema dei valori intermedi. Teorema di esistenza della radice n-esima. Teorema di Weierstrass. Regolarita’ delle funzioni monotone. Continuita’ dell’inversa. Continuita delle funzioni elementari. Funzioni trigonometriche: proprieta’ funzionali e di continuita’

Definizione della funzione esponenziale, logaritmo, proprieta’ funzionali e continuita’. Limiti notevoli. Esercizi ed esempi.
Funzioni asintoticamente equivalenti. Gerarchie di infiniti e infinitesimi. Esercizi sui limiti.

Trigonometria: Definizione delle funzioni periodiche, richiamo
definizione di seno coseno tangente e funzioni inverse, ricerca angoli
con circonferenza goniometrica, metodo angolo aggiunto, formule di
addizione e sottrazione formule di bisezione e duplicazione, formule
parametriche, formule per angoli esplementari supplementari e
complementari. Equazioni e disequazioni goniometriche. Studio del
Campo di esistenza di funzione con logaritmi e funzioni trigonometriche.
Calcolo di Limiti: limiti notevoli, Infiniti e infinitesimi, parte
principale di polinomi logaritmi e esponenziali. Primi esempi semplici.

Stime asintotiche e loro utilizzo, richiamo gerarchia infiniti e
infinitesimi, calcolo di limiti presi dal “Campiti” e dal “Bramanti”
con tutte le forme indeterminate e con l’applicazione di tutti i
limiti notevoli.

Notazione o-piccolo. Algebra degli o-piccolo. Esempi ed applicazioni al calcolo di limiti.
Problema della definizione di tangente ad una curva. Problema della velocità istantanea. Definizione di derivata, retta tangente in un punto del grafico di una funzione. Funzione derivata. Derivate di ordine superiore. Esempi dall’economia e dalla cinematica. Problema della migliore retta approssimante. Le funzioni derivabili sono continue.
Operazioni con i grafici di funzioni.

Derivata della somma, di un prodotto e di un rapporto.
Derivata di funzioni composte. Derivata della funzione inversa.
Derivate delle funzioni elementari. Esercizi.

Derivata a destra e sinistra. Punti angolosi e punti cuspidali. Esempi e controesempi. Esercizi.
Definizioni di massimo e minimo, assoluti e locali (o relativi), punti estremali, punti stazionari. Teorema di Fermat. Esempi e controesempi. Probelma di ricerca di punti estremali. Problemi dalla geometria.

Teorema di Lagrange. Test di monotonia. Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla. Funzioni che non ammettono primitiva. Test di derivabilità. Esercizi. Teoremi di de l’Hopital (senza dimostrazioni). Gerarchia degli infiniti e infinitesimi. Esercizi.

Problema di approssimazione attraverso polinomi. Polinomi di McLaurin. Formule di McLaurin con resto di Peano.
Teorema di Taylor con resto di Peano, Teorema di Taylor con resto di Lagrange. Calcolo dei polinomi di Taylor di alcune funzioni elementari, applicazioni al calcolo di funzioni e stime degli errori.

Tecniche di calcolo dei polinomi ed esercizi. Calcolo dei limiti usando i polinomi di Taylor.
Definizione di funzioni convesse e concave. Loro caratterizzazione attraverso il rapporto incrementale, retta tangente, derivata seconda. Continuita’ delle funzioni convesse.

Esercizi sul calcolo dei limiti usando i polinomi di Taylor.

Metodo di Newton per le radici di una funzione. Disuguaglianza di Bernoulli. Condizioni sufficienti per i punti estremali attraverso le derivate di ordine successivo. Asintoti. Esercizi sullo studio di funzioni.

Esercizi sullo studio di funzioni.

Introduzione al concetto di serie. Paradosso di Zenone. Definizione di serie. Carattere di una serie. Serie geometrica. Serie armonica. Serie di Mengoli. Serie telescopiche. Criterio necessario per la convergenza di una serie. Linearità delle serie.

Regolarita’ delle serie a termini positivi. Criteri del confronto, confronto asintotico, della radice, del rapporto. Serie armoniche generalizzate. Serie assolutamente convergenti. Criterio di Leibniz.

Problema della misura di un’area. Metodo di esaustione. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Interpretazioni geometrica e cinematica. Proprieta’ di linearita’, positività e additivita’ degli integrali. Integrabilita’ delle funzioni continue (solo enunciato). Integrabilita’ delle funzioni monotone (solo enunciato). Teorema della media. Esempi di funzioni non integrabili secondo Riemann. Integrabilita’ di alcune classi di funzioni discontinue.
Definizione di primitiva.

Teorema fondamentale del calcolo integrale (integrale definito uguale a variazione di una primitiva). Integrali per sostituzione. Integrali di funzioni simmetriche. Integrali contenenti valori assoluti. Integrali di funzioni razionali.

Formula di integrazione per parti. Esercizi sugli integrali di funzioni razionali, trigonometriche, esponenziali e irrazionali. Esercizi sugli integrali per parti. Esercizi sulle serie.

Integrali generalizzati. Criterio dell’integrale per serie e applicazioni alla serie armonica generalizzata. Criteri di confronto e di confronto asintotico per integrali generalizzati. Criteri di integrabilita’ al finito e all’infinito. Assoluta convergenza. Integrali dipendenti da parametro. Esercizi. Esercizi sulle serie. Esercizi sull’integrazione e sulle serie dipendenti da parametri. Esercizi sulle studio di funzioni

Aggiornamento 27.05.19

Qui ci sono alcune prove d’esame

Programma del corso AA 2015/16

Modalità di svolgimento degli esami per l’AA 2015/16

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